Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжестимеханической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести , а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела .

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где – вес телаx i , y i , z i – координаты элементарной частицы, весом Р i ;.

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при раз­биении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р i . Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x i , y i , z i при этом мо­гут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении ко­ординат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в ре­зуль­тате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется оп­ределенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае тре­бует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.

Тема относительно проста для усвоения, однако крайне важна при изучении курса сопротивления материалов. Главное внимание здесь необходимо обратить на решение задач как с плоскими и геометрическими фигурами, так и со стандартными прокатными профилями.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое центр параллельных сил?

Центр параллельных сил есть точка, че­рез которую проходит линия равнодействую­щей системы параллельных сил, прило­женных в заданных точках, при любом изменении на­правления этих сил в простран­стве.

2. Как найти координаты центра параллельных сил?

Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона.

Относительно оси x

M x (R) = ΣM x (F k) , - y C R = Σy kFk и y C = Σy kFk /Σ Fk .

Относительно оси y

M y (R) = ΣM y (F k) , - x C R = Σx kFk и x C = Σx kFk /Σ Fk .

Чтобы определить координату z C , повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда

M z (R) = ΣM z (F k) , - z C R = Σz kFk и z C = Σz kFk /Σ Fk .

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

r C = Σr kFk /Σ Fk .

3. Что такое центр тяжести тела?

Центр Тяжести- неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела. Положение центра тяжести твердого тела совпадает с положением его центра масс.

4. Как найти центр тяжести прямоугольника, треугольника, круга?

Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольногопараллелепипеда.

5. Как найти координаты центра тяжести плоского составного сечения?

Метод разбиения: если плоскую фигуру можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всей фигуры опредляются по формулам:

Х C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

где x k , y k - координаты центров тяжести частей фигуры;

s k - их площади;

S = s k - площадь всей фигуры.

6. Центр тяжести

1. В каком случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату расчетным путем?

В первом случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны

Так как центры фигур лежат на оси ординат (х = 0), то находим только координату Ус .

2 Как учитывается площадь отверстия в фигуре 4 в формуле для определения центра тяжести фигуры?

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

иметь представление о центре параллельных сил и его свойствах;

знать формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур;

уметь определять координаты центра тяжести плоских фигур простых геометрических фигур и стандартных прокатных профилей.

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
Изучив кинематику точки, обратите внимание на то, что прямолинейное движе­ние точки как неравномерное, так и равномерное всегда характеризуется наличием нормального (центростремительного) ускорения. При поступательном движении тела (характеризуемом движением любой его точки) применимы все формулы кинемати­ки точки. Формулы для определения угловых величин тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют полную смысловую аналогию с формулами для определе­ния соответствующих линейных величин поступательно движущегося тела.

Тема 1.7. Кинематика точки
При изучении темы обратите внимание на основные понятия кинематики: ускорение, скорость, путь, расстояние.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается относительность понятий покоя и движения?

Механическое движение -это изменение движения тела, или (его частей) в пространстве относительно др. тел с течением времени. Полет брошенного камня, вращение колеса- примеры механического движения.

2. Дайте определение основных понятий кинематики: траектории, расстоянию, пути, скорости, ускорению, времени.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве. Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают). При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами - ускорение - это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: а ср = Δv/Δt.

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).
Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:

а = lim а ср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.

Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени. Единица ускорения - метр, деленный на секунду в квадрате (м/с 2).

Траектория - линия в пространстве, вдоль которой движется материальная точка.
Путь - это длина траектории. Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Расстояние определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Расстояние является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и от принятого направления оси расстояний оно может быть и положительным, и отрицательным. В отличие от расстояния путь, пройденный точкой, всегда определяется положительным числом. Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается от начала отсчета и совершается по траектории в одном направлении.

В общем случае движения точки путь равен сумме абсолютных значений пройденных точкой расстояний за данный промежуток времени:

3. Какими способами может быть задан закон движения точки?

1.Естественный способ задания движения точки.

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении. Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .

2.Векторный способ задания движения точки

В этом случае положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией. Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.

3.Координатный способ задания движения точки

В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

4. Как направлен вектор истинной скорости точки при криволинейном движе­нии?

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

5. Как направлены касательное и нормальное ускорения точки?

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0

Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости.

6. Какое движение совершает точка, если касательное ускорение равно нулю, а нормальное не изменяется с течением времени?

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const ), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const (рис.б),

а нормальное ускорение не равно нулю, так как r - конечная величина.

7. Как выглядят кинематические графики при равномерном и равнопеременном движении?

При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x . Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX . Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроецировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о пространстве, времени, траектории; средней и истиной скорости;

знать способы задания движения точки; параметры движения точки по заданной траектории.

Если твердое тело находится вблизи поверхности Земли, то к каждой материальной точке этого тела приложена сила тяжести. При этом размеры тела по сравнению с размером Земли настолько малы, что силы земного притяжения, действующие на все частицы тела, можно считать параллельными между собой

Центр (точка С ) системы параллельных сил тяжести всех точек тела называется центром тяжести твердого тела , а сумма сил тяжести всех его материальных точек называется силой тяжести , действующей на него

Координаты центра тяжести твердого тела определяются по формулам:

где - координаты точек приложения сил тяжести , действующих на k -ю материальную точку.

Для однородного тела:

где V - объем всего тела;

V k - объем k -й частицы.

Для однородной тонкой пластины:

где S – площадь пластины;

S k – площадь k- ой части пластины.

Для линии:

где L - длина всей линии;

L k - длина k -ой части линии.

Способы определения координат центров тяжести тел:

Теоретические

Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси, или в центре симметрии.

Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по выше приведенным формулам.

Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. В расчеты их включают со знаком «-».

Интегрирование . Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.

Экспериментальные

Метод подвешивания. Тело подвешивают за две-три точки, проводя из них вертикали. Точка их пересечении – центр масс.

Метод взвешивания . Тело разными частями помещают на весы, определяя тем самым опорные реакции. Составляют уравнения равновесия, из которых определяют координаты центра тяжести.

С помощью теоретических методов выведены формулы для определения координат центра тяжести наиболее распространенных однородных тел:

Дуга окружности

Просмотр: эта статья прочитана 11269 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Обзор

Рычаг - это твердое тело, имеющее недвижимую ось вращения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной этой оси.

Если рычаг находится в состоянии покоя, то алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к рычагу относительно опорной точки, равняется нулю

Произвольная плоская система сил - это система сил, линии действия которых расположены в плоскости независимо.

Методом Пуансо в центре приведения О будет получена система сил и система пар, моменты каждой из которых равняют моментам соответствующей силы относительно центра приведения.

Главным вектором системы называется вектор, который равняется геометрической сумме всех сил системы.

Главным моментом системы относительно центра О в плоскости называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно центра приведения О.

Главный вектор не зависит от выбора центра приведения О. Главный момент сил зависит от центра приведения.

Основная теорема статики о приведении системы сил к данному центру : Какая-либо плоская произвольная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно избранному центру О, может быть заменена одной силой, равняющейся главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равняющемуся главному моменту системы относительно центра О.

Рассмотрены случаи приведения плоской системы сил к более простому виду

Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

1. Геометрические условия равновесия : для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

2. Аналитические условия равновесия .

Основная форма условий равновесия : Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и сумма их моментов относительно любого центра, который лежит в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Вторая форма условий равновесия : Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых двух центров А и В и сумма их проекций на ось, не перпендикулярную прямой АВ, равнялись нулю.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов) : Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.

Центр параллельных сил

Система параллельных сил, направленных в одну сторону, не может быть уравновешена или приводиться к паре сил, она всегда имеет равнодействующую.

Линия действия равнодействующей параллельна силам. Положение точки ее приложение зависит от величин и положения точек приложения сил системы.

Центр параллельных сил - точка С точка приложения равнодействующей системы параллельных сил.
Положение центра параллельных сил - точки С, определяется координатами этой точки

Центр тяжести твердого тела и его координаты

Центр тяжести тела - неизменно связанная с этим телом геометрическая точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела, т.е. вес тела в пространстве.

Координаты центра тяжести определяются аналогично координатам центра параллельных сил С (), составленных силами тяжести частиц тела.

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы и размеров, и не зависит от свойств материала, из которого тело выполнено.

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав плоской фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некоторой оси, называется статическим моментом площади плоской фигуры.

Статический момент площади плоской фигуры равняется произведению площади фигуры на алгебраическое расстояние от центра тяжести до этой оси. Единица измерения статического момента [см3].
статический момент площади плоской фигуры относительно оси, которая проходит через центр тяжести фигуры, равняется нулю.

Вес тела это равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела.

Способы определения положения центра тяжести .

1. Метод симметрии : Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.Центр тяжести линии длиной - по середине. Центр тяжести окружности (или круга) радиуса - в его центре, т.е. в точке пересечения диаметров. Центр тяжести параллелограмма, ромба или параллелепипеда - в точке пересечения диагоналей. Центр тяжести правильного многоугольника - в центре вписанного или описанный круга.
2. Метод разбивки : Если тело можно разбить на конечное количество элементов (объемов, плоскостей, линий), для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно определить зная значения для элементов непосредственно по формулам
3. Метод дополнения (отрицательных плоскостей): Если тело имеет вырезанные элементы, то при разбивке на элементы, вырезанная часть (площадь, объем) отнимаются из общей, т.е. вырезанным элементам даются отрицательные значения площади или объема

Формат: pdf

Размер: 700 КВ

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок 1.6

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела

P k = γΔV k (P = γV)

подставить в формулу для определения r C , имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Рисунок 1.7

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

Рисунок 1.8

Рисунок 1.9

11. Основные понятия кинематики. Кинематика точки. Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки.

Основные понятия кинематики

Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учета причин, вызвавших это движение.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для описания механического движения надо выбрать систему отсчета.

Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Положение тела можно определить с помощью радиуса-вектора r⃗ r→ или с помощью координат.

Радиус-вектор r⃗ r→ точки Μ - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой Μ (рис. 2).

Координата x точки Μ - это проекция конца радиуса-вектора точки Μ на ось Ох . Обычно пользуются прямоугольной системой ко ординат. В этом случае положение точки Μ на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (x ), двумя (х , у ) и тремя (х , у , z ) числами - координатами (рис. 3).

В элементарном курсе физики изучают кинематику движения материальной точки.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка".

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией . На практике форму траектории задают с помощью математических формул (y = f (x ) - уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s > 0.

Перемещение Δr⃗ Δr→ тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка M 0) и конечное (точка М ) положение тела (см. рис. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

где r⃗ r→ и r⃗ 0 r→0 - радиусы-векторы тела в эти моменты времени.

Проекция перемещения на ось Ox

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Где x 0 и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

{x=x0+Δrx;y=y0+Δry. {x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Скорость

Средняя скорость hυ⃗ i hυ→i - векторная физическая величина, численно равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно произошло, и направленная вдоль перемещения (рис. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

В СИ единицей скорости является метр в секунду (м/с).

Средняя скорость, найденная по этой формуле, характеризует движение только на том участке траектории, для которого она определена. На другом участке траектории она может быть другой.

Иногда пользуются средней скоростью пути

hυi=sΔt hυi=sΔt

Где s - путь, пройденный за промежуток времени Δt . Средняя скорость пути - это скалярная величина.

Мгновенная скорость υ⃗ υ→ тела - скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Она равна пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Здесь r⃗ ′ r→ ′ - производная от радиуса-вектора по времени.

В проекции на ось Ох :

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в каждой ее точке в сторону движения (см. рис. 4).

Ускорение

Среднее ускорение - физическая величина, численно равная отношению изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Вектор ha⃗ i ha→i направлен параллельно вектору изменения скорости Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) в сторону вогнутости траектории (рис. 5).

Мгновенное ускорение :

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с 2).

В общем случае мгновенное ускорение направлено под углом к скорости. Зная траекторию, можно определить направление скорости, но не ускорения. Направление ускорения определяется направлением равнодействующей сил, действующих на тело.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 6, а) векторы a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 сонаправлены (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 6, б) направления векторов a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 противоположны (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Вектор a⃗ a→ при криволинейном движении можно разложить на две составляющие, направленные вдоль скорости a⃗ τ a→τ и перпендикулярно скорости a⃗ n a→n (рис. 1.7), a⃗ τ a→τ - тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту изменения модуля скорости при криволинейном движении, a⃗ n a→n - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора скорости при криволинейном движении Модуль ускорения a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.

Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz . Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 3).

Рис.3

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где r x , r y , r z - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M . Поэтому

Если движение точки задано в полярных координатах

r=r(t), φ = φ(t),

где r - полярный радиус, φ - угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим

r = r(φ).

Пример 1. Движение точки задано уравнениями

Рис.4

Чтобы исключить время, параметр t , найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin 2 2t+cos 2 2t=1, получим . Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).

Начальное положение точки M 0 (при t =0) определяется координатами x 0 =0, y 0 =3 см.

Через 1 сек. точка будет в положении M 1 с координатами

x 1 =2sin2=2∙0,91=1,82 см, y 1 =2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О" , которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s , которая равна расстоянию от точки О’ до точки М , изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M 1 , М 2 ,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М 1 в М 2 . Положению точки в М 1 соответствует время t 1 , а положению точки в М 2 - время t 2 . Разложим промежуток времени t 2 - t 1 на весьма малые промежутки времени ∆t 1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆s i . Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной:

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).

Рис.6

В начале движения, при t=0 s=OM 0 =s 0 =3 см. Положение точки M 0 назы­вается начальным положением . При t=1 с, s=OM 1 =5 см.

Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние M 0 M 1 = 2см.Так что s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.

Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения

∆r=v ∆t, (1)

где v – постоянный вектор.

Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет.

Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем

Направление вектора v указано на рис. 6.1.

Рис.6.1

При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени.

Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М , определяемом радиусом-векто­ром , а в момент t 1 приходит в положение M 1 определяемое векто­ром (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t 1 -t определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ 1 видно, что ; следовательно,

Рис. 7

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t:

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю:

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ 1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки , учитывая, что r x =x, r y =y, r z =z, найдем:

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ 1):

где ∆s – длина дуги ММ 1 . Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt.

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении

Вектор ускорения точки

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате . к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v посто­янна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равно­мерному движению.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M 1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

Рис.10

Проекции ускорения a x = =0, a y = =-8 см∙с -2 . Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.