Момент пары сил сложение пар сил. Приведение системы пар сил к простейшему виду или сложение пар сил
Теорема: система пар сил, действующих на абсолютно твёрдое тело в одной плоскости, эквивалентно паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы.
Равнодействующая пара - это пара сил, заменяющая действие данных пар сил приложенных к твёрдому телу в одной плоскости.
Условие равновесия системы пар сил: для равновесия плоской системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы сумма их моментов была равна 0.
Момент силы относительно точки.
Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на ее плечо относительно данной точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Принято следующее правило знаков: момент силы относительно данной точки положителен, если сила стремится вращать тело вокруг этой точки против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Если линия действия силы проходит через некоторую точку, то относительно этой точки плечо силы и ее момент равны нулю. Момент силы относительно точки определяется по формуле.
Св-ва момента силы относительно точки :
1.Момент силы относительно данной точки не меняется при переносе силы вдоль её линии действия, т.к. при этом не изменяется ни модуль силы, ни её плечо.
2.Момент силы относительно данной точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, т.к. в этом случае плечо силы равно нулю: а=0
Теорема Пуансо о приведении силы к точке.
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Операция параллельного переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара - называется присоединённой парой.
Возможно и обратное действие: силу и пару сил, лежащие в одной плоскости, всегда можно заменить одной силой, равной данной силе, перенесённой параллельно своему начальному направлению в некоторую другую точку.
Дано: сила в точке А (рис. 5.1).
Добавим в точке В уравновешенную систему сил (F"; F"). Образуется пара сил (F; F"). Получим силу в точке В и момент пары m.
Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к одному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку - точку приведения (т.О). Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.
Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.
Полученную в т.О ССС складывают по способу силового многоугольника и получаем одну силу в т.О – это главный вектор.
Полученную систему присоединённых пар сил также можно сложить и получить одну пару сил, момент которой называется главным моментом.
Главный вектор равен геометрической сумме сил. Главный момент равен алгебраической сумме моментов присоединённых пар сил или моментов исходных сил относительно точке приведения.
Определение и свойства главного вектора и главного момента плоской системы сил.
Свойства главного вектора и главного момента
1 Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения, т.к. при центре приведения силовой многоугольник, построенный из данных сил, будет один и тот же)
2.Величина и знак главного момента зависят от выбора центра приведения, т.к. при перемене центра приведения меняются плечи сил, а модули их остаются неизменными.
3. Главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны, т.к. ещё имеется момент
4. Главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю, а это при случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей
Рассмотрим плоскую систему сил (F 1 ,F 2 , ...,F n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.
Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:
R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .
Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.
Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:
L O = M O (F 1) +M O (F 2) + ... +M O (F n) = M O (F i).
Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.
Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов э тих сил относительно центра О.
Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.
Основные свойства пары характеризуются следующими тремя теоремами.
Теорема I. Пара сил не имеет равнодействующей.
Это значит, что при F 1 =F 2 равнодействующая не существует .
Из этой теоремы следует, что пара сил не может быть уравновешена одной силой; пара сил может быть уравновешена только парой .
Теорема II. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары .
Из этой теоремы следует, что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.
Теорема III . Алгебраическая сумма проекций сил пары на ось всегда равна нулю.
Из этой теоремы следует, что пара сил не входит ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил.
- Векторный момент силы относительно точки. Свойства момента. Векторный момент пары сил, свойства момента.
Теорема о сложении пар
Теорема . Всякая плоская система пар эквивалента одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.
- Эквивалентные пары сил. Векторный момент пары сил. Условие равновесия пар сил.
Эквивалентные пары
Две пары называются эквивалентными , если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.
Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.
Из доказанной теоремы об эквивалентных парах вытекает четыре следствия:
1. не изменяя механического состояния тела, пару можно
перемещать как угодно в плоскости ее действия;
2. не изменяя механического состояния тела, можно менять
силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент остаются неизменным;
3. чтобы задать пару, достаточно задать ее момент, поэтому иногда слово «пара» заменяют словом «момент» и условно изображают его так, как показано на рис. 4.6;
4. условия равновесия плоской системы параллельных сил будут справедливы, если вместе с такой системой действуют и пары сил, так как их можно повернуть в плоскости действия и поставить силы пары параллельно другим силам системы.
Условие равновесия плоской системы пар
Применяя доказанную в предыдущем параграфе теорему к плоской системе пар, находящейся в равновесии, запишем
Поэтому условие равновесия плоской системы пар в общем виде будет выглядеть так:
а формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю/
- Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Три формы.
Различные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил
Изучив свойства главного вектора и главного момента, укажем четыре возможных случая приведения плоской системы произвольно расположенных сил:
1. F гл ≠0, М гл ≠0, т. е. главный вектор и главный момент
не равны нулю. В этом случае система сил эквивалентна
равнодействующей, которая равна по модулю главному век
тору, параллельна ему, направлена в ту же сторону, но по
другой линии действия (см. § 5.3, п. 3).
2. F гл ≠0, М гл =0. В этом случае система сил эквивалентна
равнодействующей, линия действия которой проходит через
центр приведения и совпадает с главным вектором.
3. F гл =0, М гл ≠0. В этом случае система эквивалентна
паре. Так как модуль и направление главного вектора во
всех случаях не зависят от выбора центра приведения, то
в рассматриваемом случае величина и знак главного момента
тоже не зависят от центра приведения, ибо одна и та же
система сил не может быть эквивалентна различным парам.
4. F гл =0, М гл =0. В этом случае система сил эквивалентна
нулю, т. е. находится в равновесии.
10. Свойства пар сил. Эквивалентность пар. Теоремы об эквивалентности пар.
Свойства пар сил:
Не изменяя действия на тело пару сил можно поворачивать в плоскости действия и переносить в любое место этой плоскости
Можно изменять модули сил, составляющих пару и плечо пары, но таким образом, чтобы момент пары оставался неизменным.
Пару сил можно переносить в параллельную ей плоскость действия.
Две пары сил называются эквивалентными , если они имеют геометрически равные моменты.
Поэтому пара сил характеризуется при решении задач лишь моментом пары и обозначается m=M0(F1;F2).
т-мы: (1)Две пары сил произвольно расположенных в пространстве эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. (2) еси на тело действует произвольная система пар, то ветор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар. (3)Если все пары сил расположены перпендикулярно одной плоскости, то вектора моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную сторону, поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. (4) для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенной в пространстве пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен 0.
10. Сложение пар сил. Условие равновесия системы пар сил.
Теорема о сложении пар сил:
Две пары сил, произвольно расположенные в пространстве, эквивалентны одной паре с моментом равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Если на тело действует произвольная система (М1,М2,…,Мn) пар, то вектор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов, составляющих пары. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk (сверху векторы)
Если две пары сил расположены в одной плоскости, то векторы моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную стороны. Поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk
Условие равновесия системы пар сил:
Для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенных в пространстве пар, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей (эквивалентной) пары был равен 0.
В случае, если все пары сил расположены в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), то для равновесия необходимо равенство 0 алгебраической суммы моментов составляющих пар.
15. Основная лемма статики о параллельном переносе силы.
Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Пусть в точке А твердого тела приложена сила F. Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F" и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F"=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F", F"), так как (F",F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F", F") эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M B (F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.
Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда переносится сила.
Справедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно доказать непосредственно.
Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F. Проведем в ллоскости действия этой пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил F, F в точках А и В (рис. 34) и приложим силы F, F в этих точках (первоначально F и F могли быть приложены в любых других точках на их линиях действия). Разложим теперь силу F по направлениям АВ и ЕВ на силы - по направлениям В А и AD на силы Q и Р. Очевидно при этом, что Силы Q и Q, как уравновешенные, можно отбрисить. В результате пара сил F, F будет заменена парой Р, Р с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D, Е на их линиях действия. При этом в силу произвольности в выборе точек D, Е и направлений прямых AD и BE пара Р, Р может оказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно f? положение, при котором силы Р и Р параллельны F, пару можно привести, проделав указанное преобразование дважды).
Покажем в заключение, что пары имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты соответственно через где согласно формуле Так как то но (см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно,
Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:
1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;
2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.
Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):
3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.
Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Это следует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.
Теперь докажем теорему о сложении пар: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Рассмотрим сначала две пары с моментами лежащие в плоскостях (рис. 35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок и изобразим пару с моментом силами а пару с моментом - силами (при этом, конечно, ).
Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары действительно эквивалентны одной паре найдем момент М этой пары. Так как то или согласно формуле
Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости и II сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).
Если на тело действует система пар с моментами то последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет действительно эквивалентна одной паре с моментом
Аксиома о условии эквивалентности пар сил в пространстве. Заместо вектора момента каждой пары сил, перпендикулярного плоскости чертежа, указывают лишь направление, в каком пара сил стремится вращать эту плоскость.
Пары сил в пространстве эквивалентны, ежели их моменты геометрически равны. Не изменяя деяния пары сил на жесткое тело, пару сил можно переносить в всякую плоскость, параллельную плоскости деяния пары, также изменять ее силы и плечо, сохраняя постоянным модуль и направление ее момента. Таковым образом, вектор момента пары сил можно переносить в всякую точку, т. е. момент пары сил является вольным вектором. Вектор момента пары сил описывает все три ее элемента: положение плоскости деяния пары, направление вращения и числовое значение момента. Разглядим сложение 2-ух пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях, и докажем последующую аксиому: геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары. Пусть требуется сложить две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях I и II имеющие моменты 
Рис. 34 Выбрав силы этих пар равными по модулю
определим плечи этих пар:
Расположим эти пары сил таковым образом, чтоб силы были ориентированы по полосы пересечения плоскостей KL в противоположные стороны и уравновешивались. Оставшиеся силы образуют пару сил, эквивалентную данным двум парам сил. Эта пара сил имеет плечо ВС = d и момент, перпендикулярный плоскости деяния пары сил, равный по модулю М= Pd.
Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной пары. Потому что момент пары сил является вольным вектором, перенесем моменты составляющих пар сил в точку В и сложим их, построив на этих моментах параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма
представляет собой момент эквивалентной пары Отсюда следует, что вектор т. е. геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары сил:
Таковой метод сложения моментов пар сил именуется правилом параллелограмма моментов. Построение параллелограмма моментов можно заменить построением треугольника моментов.
Применяя построение параллелограмма либо треугольника моментов, можно решить и обратную задачку, т. е. разложить всякую пару сил на две составляющие. Пусть требуется сложить несколько пар сил, расположенных произвольно в пространстве (рис. 35). Определив моменты этих пар, их можно перенести в всякую точку О места. Складывая поочередно моменты этих пар сил, можно выстроить многоугольник моментов пар, замыкающая сторона которого определит момент эквивалентной им пары сил. На (рис. 35) показано построение многоугольника моментов при сложении 3-х пар.
Момент пары сил, сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил:
или
Плоскость I деяния данной пары сил перпендикулярна направлению ее момента
Ежели момент эквивалентной пары сил равен нулю, то пары сил взаимно уравновешиваются:
Таковым образом, условие равновесия пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно сконструировать так: пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравновешиваются в этом случае, ежели геометрическая сумма их моментов равна нулю. Ежели пары сил размещены в одной плоскости (рис. 36), то моменты этих пар сил, направленные по одной прямой, складываются алгебраически. 
